a: O nằm trên trung trực của DE,DF

=>OD=OE và OD=OF

=>OE=OF

mà DE=DF

nên DO là trung trực của EF

b: M nằm trên trung trực của DE

nên MD=ME

=>góc MDE=góc MEN=góc DFN

N nằm trên trung trực của DF

=>NF=ND

=>góc NFD=góc NDF

=>góc EDM=góc FDN

Xét ΔDME và ΔDNF có

góc MDE=góc NDF

DE=DF

góc E=góc F

=>ΔDME=ΔDNF

=>EM=EN và DM=DN

a)Xét\(\Delta DEF\)có:\(EF^2=DE^2+DF^2\)(Định lý Py-ta-go)

hay\(5^2=3^2+DF^2\)

\(\Rightarrow DF^2=5^2-3^2=25-9=16\)

\(\Rightarrow DF=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Ta có:\(DE=3cm\)

\(DF=4cm\)

\(EF=5cm\)

\(\Rightarrow DE< DF< EF\)hay\(3< 4< 5\)

b)Xét\(\Delta DEF\)và\(\Delta DKF\)có:

\(DE=DK\)(\(D\)là trung điểm của\(EK\))

\(\widehat{EDF}=\widehat{KDF}\left(=90^o\right)\)

\(DF\)là cạnh chung

Do đó:\(\Delta DEF=\Delta DKF\)(c-g-c)

\(\Rightarrow EF=KF\)(2 cạnh t/ứ)

Xét\(\Delta KEF\)có:\(EF=KF\left(cmt\right)\)

Do đó:\(\Delta KEF\)cân tại\(F\)(Định nghĩa\(\Delta\)cân)

c)Ta có:\(DF\)cắt\(EK\)tại\(D\)là trung điểm của\(EK\Rightarrow DF\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(F\)của\(\Delta KEF\)

\(KI\)cắt\(EF\)tại\(I\)là trung điểm của\(EF\Rightarrow KI\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(K\)của\(\Delta KEF\)

Ta lại có:​\(DF\)cắt\(KI\)tại\(G\)

mà​\(DF\)​là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(F\)của\(\Delta KEF\)

\(KI\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(K\)của\(\Delta KEF\)

\(\Rightarrow G\)là trọng tâm của\(\Delta KEF\)

\(\Rightarrow GF=\frac{2}{3}DF\)(Định lí về TC của 3 đg trung tuyến của 1\(\Delta\))

\(=\frac{2}{3}.4=\frac{8}{3}\approx2,7\left(cm\right)\)

Vậy\(GF\approx2,7cm\)

a)xét ΔEMF và ΔFNE có:

\(\widehat{EMF}\)=\(\widehat{FNE}\)=\(90^o\)

EF là cạnh chung

\(\widehat{MFE}\)=\(\widehat{NEF}\)(ΔDEF cân tại D)

\(\Rightarrow\)ΔEMF=ΔFNE(cạnh huyền góc nhọn)

vì ΔDEF cân tại D \(\Rightarrow\)DE=DF

mà EN=FM 

\(\Rightarrow\)DE-EN=DF-FM

hay DN=DM

b)xét ΔDHN và ΔDHM có:

\(\widehat{DNH}\)=\(\widehat{DMH}\)=\(90^o\)

DN=DM(ch/m trên)

DH là cạnh chung

\(\Rightarrow\)ΔDHN=ΔDHM(cạnh huyền cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{MDH}\)=\(\widehat{NDH}\)(2 góc tương ứng)

kéo dài DH cắt EF tại O ta được:

xét ΔDOF và ΔDOE có:

DE=DF(ΔDEF cân tại D)

\(\widehat{FDO}\)=\(\widehat{EDO}\)(ch/m trên)

\(\widehat{DEO}\)=\(\widehat{DFO}\)(ΔDEF cân tại D)

\(\Rightarrow\)ΔDOF=ΔDOE(g-c-g)

\(\Rightarrow\widehat{DOE}=\widehat{DOF}\)(2 góc tương ứng)₍₁₎

OE=OF(2 cạnh tương ứng)₍₂₎

Mà \(\widehat{DOE}+\widehat{DOF}=180^o\)(2 góc kề bù)₍₃₎

Từ (1)và(3)\(\Rightarrow\)\(\widehat{DOE}=\widehat{DOF}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)₍₄₎

Từ (2)và(4)\(\Rightarrow\)DH là trung trực của EF(đ.p.cm)

a) Xét tam giác DEH và tam giác DFH ta có:

        DE = DF ( tam giác DEF cân tại D )

        DEH = DFH ( tam giác DEF cân tại D )

        EH = EF ( H là trung điểm của EF )

=> tam giác DEH = tam giác DFH ( c.g.c) (dpcm)

=> DHE=DHF(hai góc tương ứng)

Mà DHE+DHF=180 độ  =>DHE=DHF=180 độ / 2 = 90 độ ( góc vuông ) hay DH vuông góc với EF ( dpcm )

 b) Xét tam giác MEH và tam giac NFH ta có:

          EH=FH(theo a)

          MEH=NFH(theo a)

  => tam giác MEH = tam giác NFH ( ch-gn)

  => HM=HN ( 2 cạnh tương ứng ) hay tam giác HMN cân tại H ( dpcm )

c) Ta có : +) DM+ME=DE =>DM=DE-ME

                +) DN+NF=DF => DN=DF-NF

Mà DE=DF(theo a)   ;     ME=NF( theo b tam giác MEH=tam giác NFH)

=>DM=DN => tam giác DMN cân tại D 

Xét tam giac cân DMN ta có:

     DMN=DNM=180-MDN/2      (*)

Xét tam giác cân DEF ta có:

     DEF=DFE =180-MDN/2       (*)

Từ (*) và (*) Suy ra góc DMN = góc DEF

Mà DMN và DEF ở vị trí đồng vị

=> MN//EF (dpcm)

d) Xét tam giác DEK và tam giác DFK ta có:

        DK là cạnh chung

        DE=DF(theo a)

    => tam giác DEK= tam giác DFK(ch-cgv)

   =>DKE=DKF(2 góc tương ứng)

   =>DK là tia phân giác của góc EDF       (1)

Theo a tam giac DEH= tam giac DFH(c.g.c)

   =>EDH=FDH(2 góc tương ứng)

   =>DH là tia phân giác của góc EDF        (2)

Từ (1) và (2) Suy ra D,H,K thẳng hàng (dpcm)

a: Xet ΔDEN và ΔFEN có

ED=EF
góc DEN=góc FEN

EN chung

=>ΔDEN=ΔFEN

=>ND=NF

=>ΔNDF cân tại N

b: ΔDEN=ΔNFE

=>góc NFE=90 độ

=>NF vuông góc EF

c: Xét ΔDEP có

DF là trung tuyến

DF=EP/2

=>ΔDEP vuông tại D